《应用概率论》整理

《概率论》学习

第一章 事件与概率

§1.随机现象与统计概率性

一.随机现象

• 决定性现象：
  • 必然事件
  • 不可能事件
• 随机现象
  • 实验中出现的结果叫做随机事件，也称为事件

二.频率的稳定性

• 频率
  • $F_N(A) = \frac{n}{N}$,随机事件A在N次实验中出现了n次，$F_N(A)$就是频率
  • 掷硬币、键盘字母、高尔顿板
• 统计规律性：随机现象也有其必然性，即一个随机事件的频率在一个常数附近摆动
• 概率：$P(A)$

三.频率与概率

• 频率的可加性：
  • $F_N(A) \geq 0$
  • $F_N(Ω)=1$
  • $F_N(A+B)=F_N(A)+F_N(B)$

四.概率论简史

略

§2.样本事件与空间

一.样本空间

• 样本点：$w$,实验结果
• 样本空间：$Ω$,所有实验结果的集合
• 可列集：如果一个无限集中的元素可以按某种规律排成一个序列，或者说，可以对这个集合的元素标号表示为$\{a1,a2,a3, ... ,an, ...\}$,则称其为可列集。

二.事件

• 事件：样本点的某个集合

三.事件的运算

• 包含
• 等价、等于
• 逆、对立
• 并
• 交、互不相容
• 差
• 德摩根定理，对偶定理
  • $\overline{A \cap B} = \overline{A}\cup \overline{B}$
  • $\overline{A \cup B} = \overline{A}\cap \overline{B}$
• 交换律、结合律、分配律

四.有限样本空间

• 有限样本空间：有 有限个 样本点的 样本空间
  • 离散样本空间

§3.古典概型

一.模型与计算公式

• 古典概型
  • 样本点互不相容
  • 样本点发生概率相同
• 公式
  • 
  • 
  • 

二.基本组合和分析公式

• 乘法原理
• 加法原理
• 有重复的排列：$n^r$
• 不放回的抽取：$A_n^r$
• 全部排列：$n!$
• 不记顺序的抽取：$C_n^r$
• 分成k份：$\frac{n!}{r_1!r_2!..r_k!}$
• 脚标
  
• 有重复不记顺序：$C_{n-r+1}^r$

三.概率直接计算的例子

看例题

四.抽签与顺序无关

证明

五.二项分布和超几何分布

• 二项分布：
  • 有放回的抽样：出现k次$b_k= C_n^k(\frac{a}{a+b})^k(\frac{b}{a+b})^{n-k}$
• 超几何分布
  • 不放回的抽样：c出现k次$h_k=\frac{C_a^kC_b^{n-k}}{C_{a+b}^n}$

六.概率的基本性质

§4.几何概率

§5.概率空间

二.事件域

• 域：样本点组成事件，事件组成域
  • $Ω e $

​

第二章 条件概率与统计独立性

第三章 随机变量与随机函数

§1.随机变量及其分布

§2. 随机向量，随机变量的独立性

§3.随机变量的函数及其分布

一、波雷尔函数与随机变量的函数

第四章 数字特征与特征函数

第五章 极限定理